Buceando por la red he leído que se ha muerto Benoît Mandelbrot. Muchos no tendréis ni idea de quien era este señor, otros pocos supongo que sí. A Mandelbrot se le considera el padre de los fractales. La primera vez que supe de su existencia fue en una entrevista que le hizo Punset en Redes. Más tarde, en clases de métodos matemáticos, Bartolo en sus pequeños paréntesis al margen del temario oficial de la asignatura nos contaba curiosidades sobre MC Escher, fractales o el número pi. Yo de fractales solo sé que no se nada, pero tienen ese punto de fascinación que, al igual que la proporción aúrea, te la encuentras en la naturaleza (sistema circulatorio, copos de nieve, líneas de costa), sociedad (cambio de precios en los productos) y arte (las olas de los cuadros de Hokusai).
Una de las cosas que me llamó la atención y me obsesiona es el copo de nieve de Koch (o isla de Koch). Se trata de una curva cerrada y continua pero no diferenciable en ningún punto que la formamos de la siguiente manera:
Partamos de un triángulo equilátero de lado unidad. Dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente como muestra la animación en la iteración n=1. Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación (n=2) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.
En la operación n-ésima la curva estará formada por 3·4n trozos, de perímetro 4n /3n-1. La curva de Von Koch resulta del paso al límite de la sucesión de curvas Pn cuando n tiende a infinito. ¿Cuál es la longitud del perímetro de esta isla?
Será:
Es decir, aunque la isla de Von Koch ocupa una región limitada del espacio, un área finita, su perímetro es ... ¡infinito! (lo que Mandelbrot denomina infinito interno)
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